Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số thực $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=|\frac{1}{4}{x}^4-14x^2+48x+m-30|$ trên đoạn $[0;2]$ không vượt quá $30$. Tổng tất cả các giá trị của $S$ là

Chọn B.
Xét hàm số $u(x)=\frac{1}{4}{x}^4-14x^2+48x+m-30$ trên đoạn $[0;2]$.
Ta có $u^{\prime }(x)=x^3-28x+48=(x-2)(x^2+2x-24)=(x-2)(x-4)(x+6)$.
Trên khoảng $(0;2)$, $u^{\prime }(x)>0$, do đó hàm số $u(x)$ đồng biến trên $[0;2]$.
Tính các giá trị tại đầu mút:
$u(0)=m-30$,
$u(2)=\frac{1}{4}(16)-14(4)+48(2)+m-30=4-56+96+m-30=m+14$.
Do $u(x)$ đồng biến nên $m-30\le u(x)\le m+14,\forall x\in [0;2]$.
Giá trị lớn nhất của $y=|u(x)|$ trên $[0;2]$ không vượt quá $30$ khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}u(x)\le 30\\ u(x)\ge -30\end{array},\forall x\in [0;2]⟺\{\begin{array}{l}{\max }_{[0;2]}u(x)\le 30\\ {\min }_{[0;2]}u(x)\ge -30\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m+14\le 30\\ m-30\ge -30\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m\le 16\\ m\ge 0\end{array}⟺0\le m\le 16$.
Vì $m$ là số nguyên nên $S=\{0,1,2,\dots ,16\}$.
Tổng tất cả các phần tử của $S$ là ${\sum }_{m=0}^{16}m=\frac{16\cdot 17}{2}=136$.