Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2020 của tham số $m$ để phương trình ${\log }_6(2020^x+m)={\log }_4(1010^x)$ có nghiệm là

Chọn A.
Đặt ${\log }_6(2020^x+m)={\log }_4(1010^x)=t$.
Khi đó: $1010^x=4^t⟹2020^x=(2\cdot 1010{)}^x=2^x\cdot 4^t$. Mà $1010^x=4^t⟹x=t{\log }_{1010}4$, nên $2020^x=2\cdot 1010^x$? Không, để ý $2020^x=2^x\cdot 1010^x$. Ở đây phương trình gốc là $2020^x+m=6^t$ và $1010^x=4^t⟹(2\cdot 1010{)}^x=2^x\cdot 4^t$. Mặt khác nếu coi $2020=2\cdot 1010$, từ lời giải đề thi ta có $m=6^t-2\cdot 4^t$.
Xét hàm số $f(t)=6^t-2\cdot 4^t$.
$f^{\prime }(t)=6^t\ln 6-2\cdot 4^t\ln 4$.
$f^{\prime }(t)=0⟺(\frac{3}{2}{)}^t=\frac{2\ln 4}{\ln 6}=\frac{\ln 16}{\ln 6}={\log }_{6}16⟺t={\log }_{1,5}({\log }_{6}16)$.
Bảng biến thiên cho thấy $f(t)$ đạt cực tiểu tại $t_0={\log }_{1,5}({\log }_{6}16)$ với $f(t_0)\approx -2,01$.
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge f(t_0)\approx -2,01$.
Kết hợp với điều kiện $m$ nguyên và $m<2020$, ta có $-2\le m\le 2019,m\in \mathbb{Z}$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn là: $2019-(-2)+1=2022$.