Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{m-\sin x}{{\cos }^{2}x}$ nghịch biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{6})$.

Chọn C.
Ta có:
$y^{\prime }=\frac{(m-\sin x{)}^{\prime }{\cos }^{2}x-(m-\sin x)({\cos }^{2}x{)}^{\prime }}{{\cos }^{4}x}=\frac{-\cos x{\cos }^{2}x-(m-\sin x)(-2\cos x\sin x)}{{\cos }^{4}x}$
$=\frac{-{\cos }^{2}x+2(m-\sin x)\sin x}{{\cos }^{3}x}=\frac{-(1-{\sin }^{2}x)+2m\sin x-2{\sin }^{2}x}{{\cos }^{3}x}=\frac{-{\sin }^{2}x+2m\sin x-1}{{\cos }^{3}x}$.
Với mọi $x\in (0;\frac{\pi }{6})$ thì $\cos x>0⟹{\cos }^{3}x>0$.
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;\frac{\pi }{6})$ thì:
$y^{\prime }\le 0,\forall x\in (0;\frac{\pi }{6})⟺-{\sin }^{2}x+2m\sin x-1\le 0,\forall x\in (0;\frac{\pi }{6})$.
Đặt $t=\sin x$, vì $x\in (0;\frac{\pi }{6})$ nên $t\in (0;\frac{1}{2})$.
Bất phương trình trở thành:
$-t^2+2mt-1\le 0⟺2mt\le t^2+1⟺2m\le t+\frac{1}{t},\forall t\in (0;\frac{1}{2})$.
Xét hàm số $g(t)=t+\frac{1}{t}$ trên $(0;\frac{1}{2})$.
Ta có $g^{\prime }(t)=1-\frac{1}{t^2}=\frac{t^2-1}{t^2}<0,\forall t\in (0;\frac{1}{2})$.
Do đó $g(t)$ nghịch biến trên $(0;\frac{1}{2})$, suy ra ${\inf }_{(0;1/2)}g(t)=g(1/2)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$.
Để $2m\le g(t),\forall t\in (0;\frac{1}{2})$ thì $2m\le \frac{5}{2}⟺m\le \frac{5}{4}$.