Hàm số $y=x^4+a{x}^3+b{x}^2+1$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=0$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=a+b$ là

Chọn D.
Ta có $y(0)=1$. Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=0$ thì $y(x)\ge y(0)=1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
$⟺x^4+a{x}^3+b{x}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
+) Với $x>0$: chia cả hai vế cho $x^2>0$ ta được $x^2+ax+b\ge 0$.
Cho $x\to 0^{+}$ suy ra $b\ge 0$.
Nếu $b=0$, ta có $x^2(x^2+ax)\ge 0⟺x+a\ge 0,\forall x>0$ và $x+a\le 0,\forall x<0$, điều này chỉ xảy ra khi $a=0$. Khi đó $a=b=0\Rightarrow S=0$.
+) Để tam thức bậc hai $g(x)=x^2+ax+b\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $\Delta =a^2-4b\le 0⟺b\ge \frac{a^2}{4}$.
Khi đó $S=a+b\ge a+\frac{a^2}{4}=\frac{1}{4}(a^2+4a+4)-1=\frac{1}{4}(a+2{)}^2-1\ge -1$.
Dấu bằng xảy ra khi $a=-2$ và $b=1$.
Khi $a=-2,b=1$, ta có $x^4-2x^3+x^2=x^2(x-1{)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$, thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $S=a+b$ là $-1$.