Khi dạo chơi trong một công viên bạn An di chuyển trên cầu cong có hình Parabol, bạn Lan di chuyển trên bờ hồ đường tròn (minh họa bằng hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa 2 chân cầu Parabol là $AB=30\text{ m}$; đỉnh $H$ của Parabol cách đường $AB$ một khoảng $HK=30\text{ m}$, khoảng cách từ tâm $I$ của đường tròn đến đường thẳng $AB$ là $IE=30\text{ m}$ và $IH=30\text{ m}$. Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai bạn An và Lan, biết rằng đường tròn có bán kính bằng $3\text{ m}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (hoặc $Oxy$) với gốc tọa độ $K\equiv O(0;0)$, trục $Ox$ trùng với đường thẳng $AB$, trục $Oy$ trùng với đường thẳng $KH$.
Khi đó $K(0;0)$ và đỉnh Parabol $H(0;30)$. Do $K$ là trung điểm của $AB$ và $AB=30\text{ m}$ nên $A(-15;0)$ và $B(15;0)$.
Phương trình Parabol có dạng $y=a{x}^2+30$. Vì Parabol đi qua $B(15;0)$ nên $a\cdot 15^2+30=0\Rightarrow a=-\frac{30}{225}=-\frac{2}{15}$.
Do đó phương trình Parabol là $(P):y=-\frac{2}{15}{x}^2+30$ với $x\in [-15;15]$.
Tâm $I$ của đường tròn cách $AB$ khoảng $IE=30$ và $IH=30$, mà $H(0;30)$ có tung độ bằng 30 nên $I$ có tung độ $y_I=30$ và hoành độ $x_I=30$, tức $I(30;30)$. Bán kính đường tròn $R=3$.
Lấy điểm $M(x;y)\in (P)$ với $y=-\frac{2}{15}{x}^2+30$.
Khoảng cách từ $M$ đến tâm $I$ là:
$M{I}^2=(x-30{)}^2+{\left(-\frac{2}{15}{x}^2+30-30\right)}^2=(x-30{)}^2+\frac{4}{225}{x}^4$.
Xét hàm số $f(x)=\frac{4}{225}{x}^4+x^2-60x+900$ trên $[-15;15]$.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{16}{225}{x}^3+2x-60$.
Cho $f^{\prime }(x)=0\iff 16x^3+450x-13500=0$. Phương trình có nghiệm duy nhất $x\approx 8,4613$.
Khi đó $MI=\sqrt{f(8,4613)}\approx 23,559\text{ m}$.
Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai bạn là $d_{\min }=M{I}_{\min }-R\approx 23,559-3=20,559\approx 20,6\text{ m}$.