Lập phương trình đường tròn $(C)$ biết: $(C)$ có tâm $B(1;1)$ và cắt $d:3x+4y+8=0$ tại $M,N$ thỏa mãn $MN=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là hình chiếu của $B(1;1)$ trên $d:3x+4y+8=0$. Khoảng cách từ $B$ đến $d$ là:
$$d(B,d)=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 1+8|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3.$$
Vì $(C)$ cắt $d$ tại $M,N$ với $MN=8$, tam giác $BMN$ cân tại $B$ nên $H$ là trung điểm $MN$, suy ra:
$$R^2=B{M}^2=H{B}^2+H{M}^2=3^2+4^2=25\Rightarrow R=5.$$
Vậy phương trình đường tròn $(C)$ là:
$$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=25,$$
tức $x^2+y^2-2x-2y-23=0$.