Lợi nhuận mỗi ngày của một xưởng khi sản xuất $x$ $(kg)$ một loại sản phẩm được cho bởi hàm số $L(x)=-x^3+24x^2+780x-5000$ (nghìn đồng). Biết công suất tối đa của xưởng là $40$ $kg$ sản phẩm trong một ngày. Giả sử mỗi ngày xưởng sản xuất $x$ $(kg)$ sản phẩm và bán hết.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $L(x)=-x^3+24x^2+780x-5000$ trên $[0;40]$.
a) $L^{\prime }(x)=-3x^2+48x+780$: đúng theo quy tắc đạo hàm.
b) $L^{\prime }(x)=0\iff -3x^2+48x+780=0\iff x^2-16x-260=0\iff x=26$ hoặc $x=-10$. Trên đoạn $[0;40]$ chỉ có nghiệm $x=26$, tức chỉ 1 nghiệm → ý b) sai.
c) $L(0)=-5000\ne 0$ (nên ý c) sai dù $L(26)=-17576+16224+20280-5000=13928$ đúng và $L(40)=-64000+38400+31200-5000=600$ đúng).
d) So sánh: $L(0)=-5000$, $L(26)=13928$, $L(40)=600$. Vì $L^{\prime }(x)>0$ khi $x\in [0;26)$ và $L^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (26;40]$, hàm số đạt maximum tại $x=26$ với $L(26)=13928$ nghìn đồng. Vậy để lợi nhuận cao nhất xưởng nên sản xuất 26 kg/ngày → ý d) đúng.
Tóm tắt:
a) Đạo hàm $L^{\prime }(x)=-3x^2+48x+780$.
b) $L^{\prime }(x)=0\iff x=26$ hoặc $x=-10$; trên $[0;40]$ chỉ có 1 nghiệm là $x=26$.
c) $L(0)=-5000\ne 0$; mặc dù $L(26)=13928$ và $L(40)=600$ đúng, cả mệnh đề sai vì $L(0)$ sai.
d) $L$ tăng trên $[0;26]$, giảm trên $[26;40]$; $L(26)=13928$ lớn nhất, nên sản xuất 26 kg/ngày cho lợi nhuận cao nhất.