Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức $P(q)=-q^3+24q^2+780q-5000$ (nghìn đồng) trong đó $q(\mathrm{kg})$ là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất được tối đa 50 kg sản phẩm trong một tuần.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $P(q)=-q^3+24q^2+780q-5000$ trên $[0;50]$. Ta có $P^{\prime }(q)=-3q^2+48q+780=-3(q-26)(q+10)$. Trên $[0;50]$, $P^{\prime }(q)>0$ khi $0\le q<26$ và $P^{\prime }(q)<0$ khi $26<q\le 50$. a) Sai: trên $(26;50]$ hàm số nghịch biến nên sản xuất nhiều hơn không đồng nghĩa lợi nhuận cao hơn. b) Đúng: $P(q)$ đạt cực đại (và là GTLN trên $[0;50]$) tại $q=26$. c) Đúng: với $q>26$, $P^{\prime }(q)<0$ nên lợi nhuận giảm. d) Đúng: $P(10)=-1000+2400+7800-5000=4200$ (nghìn đồng). Kết quả khớp đáp án nguồn SDDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(q)=-3(q-26)(q+10)$; trên $(26;50]$ thì $P^{\prime }(q)<0$, hàm nghịch biến nên sản xuất nhiều hơn làm lợi nhuận giảm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(q)=0$ tại $q=26$ (trong $[0;50]$), $P$ tăng rồi giảm nên GTLN tại $q=26$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $q>26$, $P^{\prime }(q)<0$ nên $P$ nghịch biến, lợi nhuận càng giảm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(10)=-1000+2400+7800-5000=4200$ (nghìn đồng).