Lớp mẫu giáo có 10 em bé, các bé đứng thành vòng tròn và cách đều nhau, đứng ở tâm vòng tròn là cô giáo. Mỗi bé cầm 2 cờ, một xanh một đỏ trên mỗi tay. Cô giáo bảo "giơ lên cao một cờ", các bé giơ ngẫu nhiên một cờ. Gọi $a$ là xác suất để không có 4 cờ nào cùng màu được giơ lên ở 4 vị trí mà 4 vị trí ấy là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Giá trị của $\frac{2200}{a}$ bằng bao nhiêu?

Đánh số 10 em bé từ 1 đến 10 theo thứ tự trên đường tròn. Có 5 cặp vị trí đối diện nhau qua tâm: $(1;6),(2;7),(3;8),(4;9),(5;10)$.
Bốn đỉnh tạo thành một hình chữ nhật khi và chỉ khi 4 đỉnh đó là hai cặp đỉnh đối diện nhau qua tâm.
Tổng số kết quả khi 10 bé giơ cờ là $2^{10}=1024$.
Để không có 4 cờ nào cùng màu ở 4 đỉnh của một hình chữ nhật, ta xét số cặp đối diện có cùng màu cờ (gọi là $k$):
- Nếu $k=0$: Cả 5 cặp đều có 2 cờ khác màu (mỗi cặp có 2 cách chọn cờ): có $2^5=32$ cách.
- Nếu $k=1$: Chọn 1 cặp cùng màu ($C_5^1\times 2$ cách vì có thể cùng xanh hoặc cùng đỏ), 4 cặp còn lại khác màu ($2^4$ cách): có $C_5^1\cdot 2\cdot 2^4=160$ cách.
- Nếu $k=2$: Cần hai cặp cùng màu này khác màu nhau (một cặp cùng đỏ, một cặp cùng xanh) để không tạo thành 4 cờ cùng màu: có $C_5^2\cdot 2\cdot 2^3=160$ cách.
- Nếu $k\ge 3$: Theo nguyên lý Dirichlet, trong ít nhất 3 cặp cùng màu chắc chắn có ít nhất 2 cặp cùng màu như nhau (đều cùng đỏ hoặc đều cùng xanh), tạo thành 4 cờ cùng màu tại 4 đỉnh hình chữ nhật.
Do đó số cách thuận lợi là: $32+160+160=352$.
Xác suất $a=\frac{352}{1024}=\frac{11}{32}$.
Vậy giá trị của biểu thức là $\frac{2200}{a}=\frac{2200}{\frac{11}{32}}=\frac{2200\cdot 32}{11}=200\cdot 32=6400$.