Cho hàm số $y=f(x)=-x^3+3x^2-4$ có đồ thị là $(C)$. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của $(C)$ là đồ thị hàm số $g(x)=ax+b$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $h(x)=\sqrt{-x(ax+b)}$. Tính giá trị $\sqrt{8(300M-20m)}$.

Ta có đạo hàm $y^{\prime }=-3x^2+6x$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
- Với $x=0\Rightarrow y=-4$, ta được điểm cực trị $A(0;-4)$.
- Với $x=2\Rightarrow y=0$, ta được điểm cực trị $B(2;0)$.
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A,B$ có phương trình $g(x)=ax+b$:
$\{\begin{array}{l}b=-4\\ 2a+b=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=-4\end{array}\Rightarrow g(x)=2x-4$.
Xét hàm số $h(x)=\sqrt{-x(2x-4)}=\sqrt{-2x^2+4x}$.
Điều kiện xác định: $-2x^2+4x\ge 0\iff 0\le x\le 2$.
Ta có $-2x^2+4x=-2(x-1{)}^2+2\le 2,\forall x\in [0;2]$.
Suy ra giá trị lớn nhất $M=\sqrt{2}$ (đạt tại $x=1$) và giá trị nhỏ nhất $m=0$ (đạt tại $x=0,x=2$).
Tính giá trị biểu thức: $\sqrt{8(300M-20m{)}^2}=\sqrt{8\cdot (300\sqrt{2}-0{)}^2}=\sqrt{8\cdot 90000\cdot 2}=\sqrt{1440000}=1200$.