Một bức tường cao $3m$ nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 3m. Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa nhà (xem hình vẽ). Chiều dài tối thiểu của thang là $a\sqrt{2}m$. Hỏi $a$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x>0$ là khoảng cách từ chân thang (trên mặt đất ngoài bức tường) đến bức tường. Thang là đoạn thẳng từ chân thang, qua đỉnh tường (cao $3m$, cách chân thang $x$), chạm tòa nhà (cách tường $3m$). Theo tam giác đồng dạng, độ cao điểm chạm tòa nhà là $h=\frac{3(x+3)}{x}$. Chiều dài thang: $L=\sqrt{(x+3{)}^2+h^2}=\frac{(x+3)\sqrt{x^2+9}}{x}$. Xét $f(x)=\ln L=\ln (x+3)+\frac{1}{2}\ln (x^2+9)-\ln x$, đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+3}+\frac{x}{x^2+9}-\frac{1}{x}=0\Rightarrow x^3=27\Rightarrow x=3$. Khi đó $L_{\min }=\frac{6\sqrt{18}}{3}=6\sqrt{2}m$, nên $a=6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (6).