Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính 12m, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Hỏi độ dài ng

Question

Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính 12m, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Hỏi độ dài ngắn nhất $l$ (đơn vị mét) của cây cầu là bao nhiêu (làm tròn đến chữ số hàng phần chục), biết:
- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $O$ ;
- Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm $A$ và có trục đối xứng là đường thẳng $O A$ ;
- Độ dài đoạn $O A$ và $O B$ lần lượt là 40m và 20m;
- Tâm $I$ của mảnh vườn cách đường thẳng AE và BC lần lượt là 40m và 30m.

![Cái ao và mảnh vườn](https://cdn.dethichuan.com/toan/images/280be6ccecd6fc8caea780e6c2334cff4dd8e53be8b22e0936157d114efb397c/part3_q2_pond.png)

Accepted Answer

Đáp án đúng: 15,7. Lời giải chi tiết: Chọn hệ trục tọa độ với O(0; 0), trục Ox chứa BC, trục Oy chứa OA. Khi đó A(0; 40), B(20; 0). Parabol đỉnh A(0; 40) có dạng y = ax 2 + 40. Qua B(20; 0) 400a + 40 = 0 a = - 1 10 . Phương trình nhánh parabol AB: y = - 1 10 x 2 + 40 với x [0; 20]. Tâm vườn I(40; 30), bán kính R = 12 m. Khoảng cách từ điểm M (x; - 1 10 x 2 + 40 ) trên bờ AB đến I(40; 30) bình phương là: f(x) = IM 2 = (x - 40) 2 + (10 - x 2 10 ) 2 Khảo sát hàm số f(x) trên [0; 20]: Đạo hàm f'(x) = 2(x - 40) + 2 (10 - x 2 10 ) (- x 5 ) = x 3 25 - 2x - 80. Phương trình f'(x) = 0 x 3 - 50x - 2000 = 0 có nghiệm thực duy nhất x 14,03. Tại x 14,03, ta có y = -0,1(14,03) 2 + 40 20,32. Khoảng cách IM = (14,03 - 40) 2 + (20,32 - 30) 2 = (-25,97) 2 + (-9,68) 2 674,44 + 93,70 = 768,14 27,72 m. Độ dài ngắn nhất của cây cầu là l = IM - R = 27,72 - 12 15,7 m. Đáp số: 15,7.

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 lần 3 môn Toán liên trường THPT NQA-GVC Ninh Bình (Mã đề 001)

Các câu hỏi khác trong đề (22 câu)