Một chiếc xe đi từ vị trí $A$ đến vị trí $D$. Vì chướng ngại vật nên chiếc xe đi vòng qua các vị trí B, C. Biết rằng $AB=12$ km, $BC=10$ km, $CD=8$ km, $\widehat{ABC}=101^{\circ }$ và $\widehat{BCD}=145^{\circ }$. Biết rằng cứ 1 km thì người đó mất 5 phút để đi. Hỏi trên đoạn đường $AD$ thì mất bao nhiêu giờ ? (giả sử bỏ qua những khúc đường gập ghềnh và thay đổi vận tốc)

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tính độ dài đoạn thẳng $AD$ rồi nhân với thời gian đi mỗi km.

Bước 1: Trong tam giác $BCD$, áp dụng định lí cosin:
$$B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot \cos \widehat{BCD}=10^2+8^2-2\cdot 10\cdot 8\cdot \cos 145^{\circ }$$
$$=164+160\cos 35^{\circ }\approx 164+131,064=295,064\Rightarrow BD\approx 17,177\text{ km}.$$

Bước 2: Áp dụng định lí sin trong tam giác $BCD$:
$$\frac{\sin \widehat{CBD}}{CD}=\frac{\sin \widehat{BCD}}{BD}\Rightarrow \sin \widehat{CBD}=\frac{8\sin 145^{\circ }}{17,177}\approx 0,2671\Rightarrow \widehat{CBD}\approx 15,49^{\circ }.$$

Bước 3: Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}-\widehat{CBD}\approx 101^{\circ }-15,49^{\circ }=85,51^{\circ }$.

Bước 4: Trong tam giác $ABD$, định lí cosin:
$$A{D}^2=A{B}^2+B{D}^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot \cos \widehat{ABD}$$
$$\approx 144+295,064-2\cdot 12\cdot 17,177\cdot \cos 85,51^{\circ }\approx 439,064-32,27=406,79$$
$$\Rightarrow AD\approx 20,17\text{ km}.$$

Bước 5: Cứ 1 km mất 5 phút nên thời gian đi hết đoạn $AD$ là:
$$20,17\times 5\approx 100,85\text{ phuˊt}\approx 1,68\text{ giờ}\approx 1\text{ giờ }41\text{ phuˊt}.$$

Vậy người đó mất khoảng $1,68$ giờ (khoảng 1 giờ 41 phút) để đi hết đoạn đường $AD$.