Một vận động viên cầu lông đang đứng phát cầu và trái cầu cách mặt đất một khoảng cách 0,8 m. Biết rằng quỹ đạo của trái cầu lông là một parabol và có tọa độ đỉnh là $S(3;4)$. Tính khoảng cách điểm chạm đất xa nhất mà trái cầu có thể đạt được ?

[Hình cần kiểm tra lại: p3_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Oxy với gốc O tại vị trí phát cầu trên mặt đất, trục Ox nằm trên mặt đất. Trái cầu xuất phát tại điểm (0; 0,8) và đỉnh parabol là S(3; 4).

Phương trình parabol có dạng: $y=a(x-3{)}^2+4$.

Vì parabol đi qua điểm $(0;0,8)$:
$$0,8=a(0-3{)}^2+4\Rightarrow 9a=-3,2\Rightarrow a=-\frac{16}{45}.$$

Vậy $y=-\frac{16}{45}(x-3{)}^2+4$.

Điểm chạm đất có tung độ $y=0$:
$$-\frac{16}{45}(x-3{)}^2+4=0\Rightarrow (x-3{)}^2=\frac{45}{4}\Rightarrow x=3\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}.$$

Vì trái cầu bay theo chiều dương của trục Ox (điểm chạm đất xa nhất), ta lấy:
$$x=3+\frac{3\sqrt{5}}{2}\approx 6,35\text{ (m)}.$$

Kiểm tra: $a=-3,2/9=-16/45$ đúng; $(x-3{)}^2=4\cdot \frac{45}{16}=\frac{45}{4}$ đúng; $\sqrt{45}/2=3\sqrt{5}/2\approx 3,354$, nên $x\approx 6,354$ m.

Kết luận: khoảng cách điểm chạm đất xa nhất mà trái cầu đạt được là $3+\frac{3\sqrt{5}}{2}\approx 6,35$ m.