Giải phương trình sau đây
$$3\sqrt{x^3-3x^2+2x+1}=\sqrt{(2x+1{)}^3+x^3-4x-1}$$

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^3-3x^2+2x+1\ge 0$. Khai triển vế phải: $(2x+1{)}^3+x^3-4x-1=(8x^3+12x^2+6x+1)+x^3-4x-1=9x^3+12x^2+2x$. Bình phương hai vế (cả hai vế không âm khi điều kiện thoả mãn): $9(x^3-3x^2+2x+1)=9x^3+12x^2+2x$. Rút gọn: $-39x^2+16x+9=0\iff 39x^2-16x-9=0$. Biệt thức $\Delta =256+4\cdot 39\cdot 9=1660$, $\sqrt{\Delta }=2\sqrt{415}$. Vậy $x=\frac{16\pm 2\sqrt{415}}{78}=\frac{8\pm \sqrt{415}}{39}$. Kiểm tra điều kiện: với $x_1=\frac{8+\sqrt{415}}{39}\approx 0,7275$ thì $x^3-3x^2+2x+1\approx 1,252>0$; với $x_2=\frac{8-\sqrt{415}}{39}\approx -0,3172$ thì $x^3-3x^2+2x+1\approx 0,032>0$. Cả hai nghiệm thoả mãn. Kết luận: $S=\left\{\frac{8-\sqrt{415}}{39};\frac{8+\sqrt{415}}{39}\right\}$.