Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí $A$ đến một hòn đảo ở vị trí $D$. Khoảng cách ngắn nhất từ $D$ vào đất liền là $DC=2km$. Khoảng cách từ $A$ đến $C$ là $5km$. Người ta chọn một vị trí (điểm $B$) nằm giữa $A$ và $C$ để mắc đường dây điện từ $A$ đến $B$, rồi từ $B$ đến $D$. Chi phí mắc mỗi $km$ dây điện trên đất liền là $3000USD$, chi phí mắc mỗi $km$ dây điện ngầm dưới biển là $5000USD$. Tổng chi phí mắc dây điện nối từ vị trí $A$ đến vị trí $D$ theo cách trên là $23000USD$. Giả sử $AB=x(km)$ với $0<x<5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ với $AC=5$ km, $AB=x$ nên $BC=5-x$ (km) → ý a đúng. Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ có $BC=5-x$, $CD=2$ nên $BD=\sqrt{(5-x{)}^2+4}=\sqrt{x^2-10x+29}$ (km). Chi phí trên đất liền: $3000x$ (USD); chi phí ngầm dưới biển: $5000\sqrt{x^2-10x+29}$ (USD) → ý d đúng. Tổng chi phí $23000$ USD nên $3000x+5000\sqrt{x^2-10x+29}=23000$ → ý c đúng. Chia 1000: $3x+5\sqrt{(x-5{)}^2+4}=23$. Thử $x=3,5$: $\sqrt{2,25+4}=2,5$, khi đó $10,5+12,5=23$ thỏa mãn; hàm $f(x)=3x+5\sqrt{(x-5{)}^2+4}$ đồng biến trên $(0;5)$ nên $x=3,5$ là nghiệm duy nhất → ý b đúng. Khớp đáp án chính thức mã 1103, câu 5: a Đ, b Đ, c Đ, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
B nằm giữa A và C, AC = 5 km, AB = x nên BC = 5 - x (km).
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình 3000x + 5000√(x² - 10x + 29) = 23000, chia 1000: 3x + 5√((x-5)² + 4) = 23. Với x = 3,5: 10,5 + 5·2,5 = 23 thỏa mãn; hàm số đồng biến trên (0;5) nên x = 3,5 là nghiệm duy nhất.
c) (AI giải đề cho tôi)
BD = √(BC² + CD²) = √((5-x)² + 4) = √(x² - 10x + 29). Tổng chi phí: 3000x + 5000√(x² - 10x + 29) = 23000.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí dưới biển = 5000 USD/km × BD = √(x² - 10x + 29) (km) nên bằng 5000√(x² - 10x + 29) (USD).