Một giáo viên theo dõi sự tiến bộ của học sinh qua thang đo điểm, được mô hình hóa bằng hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các hệ số. Trong đó, $x$ $(0\le x\le 9,x\in \mathbb{N})$ là số tháng kể từ đầu năm học và $f(x)$ là điểm trong tháng thứ $x$. Qua theo dõi, giáo viên ghi nhận tháng đầu tiên học sinh đạt 19 điểm, sau đó giảm trong tháng thứ hai và đến tháng thứ ba học sinh đạt mức thấp nhất trong ba năm học, là 3 điểm. Kể từ tháng thứ ba trở đi, điểm của học sinh tăng lên. Tính điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$, $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$. Theo đề: $f(1)=19$; $f(3)=3$ là mức thấp nhất nên $x=3$ là điểm cực tiểu, tức $f^{\prime }(3)=0$; hàm giảm trước $x=3$ và tăng sau $x=3$. Vì $f^{\prime }$ là tam thức bậc hai có nghiệm $x=3$ và đổi dấu từ âm sang dương qua $x=3$, nghiệm còn lại phải nhỏ hơn 3; kết hợp điều kiện hàm giảm tại tháng thứ hai (khoảng $x=2$) và tăng từ $x=3$, ta thử $f^{\prime }(x)=3(x-3)(x+1)=3x^2-6x-9$, tức $a=-3$, $b=-9$. Khi đó từ $f(1)=1-3-9+c=19$ suy ra $c=30$. Vậy $f(x)=x^3-3x^2-9x+30$. Kiểm tra: $f(1)=19$; $f(3)=27-27-27+30=3$; $f^{\prime }(x)=3(x-3)(x+1)<0$ với $x\in (-1;3)$ nên hàm giảm qua tháng thứ hai, đạt cực tiểu tại $x=3$ rồi tăng — khớp hoàn toàn dữ kiện. Do đó $f(6)=216-108-54+30=84$. Điểm ở tháng thứ sáu là 84, khớp với bảng đáp án trang 9 (Câu 18, Mã đề 1001: 84).