Một hộp chứa 15 viên bi gồm 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 8 bi vàng (các viên bi cùng màu được đánh số khác nhau). Lấy ngẫu nhiên đồng thời 6 viên bi từ hộp. Tính xác suất để các viên bi còn lại trong hộp có đủ ba màu?

- Số cách lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ 15 viên là: $n(\Omega )=C_{15}^6=5005$.
- Gọi $A$ là biến cố: "Các viên bi còn lại trong hộp có đủ ba màu".
- Biến cố đối $\bar{A}$: "Các viên bi còn lại trong hộp thiếu ít nhất một màu". Vì chỉ lấy ra 6 viên bi, nên:
- Để còn lại thiếu màu xanh: Ta phải lấy ra toàn bộ 3 viên bi xanh. Số cách lấy là: $C_3^3\cdot C_{12}^3=220$ (cách).
- Để còn lại thiếu màu đỏ: Ta phải lấy ra toàn bộ 4 viên bi đỏ. Số cách lấy là: $C_4^4\cdot C_{11}^2=55$ (cách).
- Để còn lại thiếu màu vàng: Ta phải lấy ra toàn bộ 8 viên bi vàng. Trường hợp này không thể xảy ra vì chỉ lấy ra tối đa 6 viên.
- Do không thể lấy đồng thời toàn bộ bi xanh và toàn bộ bi đỏ (tổng cộng $3+4=7>6$), nên số kết quả thuận lợi cho biến cố $\bar{A}$ là:
$$n(\bar{A})=220+55=275.$$
- Xác suất của biến cố đối là: $P(\bar{A})=\frac{275}{5005}=\frac{5}{91}$.
Vậy xác suất để các viên bi còn lại có đủ ba màu là:
$$P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{5}{91}=\frac{86}{91}.$$