Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị tính trên các trục là km), một trạm radar được đặt tại điểm $I(2;1)$ có bán kính theo dõi là 10 km. Một vật thể bay chuyển động thẳng đều từ điểm $A(12;5)$ đến điểm $B(-8;-7)$ với vận tốc không đổi là 600 km/h. Hỏi vật thể bay nằm trong vùng theo dõi của trạm radar trong khoảng thời gian bao nhiêu phút (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Bước 1: Thiết lập phương trình các đối tượng.
- Vùng theo dõi của radar là hình tròn tâm $I(2;1)$, bán kính $R=10$.
- Quỹ đạo của vật thể bay là đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A(12;5)$ và $B(-8;-7)$. Ta có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-20;-12)$, chọn vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }=(3;-5)$. Phương trình đường thẳng $\Delta$: $3(x-12)-5(y-5)=0⟺3x-5y-11=0$.
Bước 2: Tính quãng đường vật thể bay nằm trong vùng radar. Quãng đường này chính là độ dài dây cung $L$ tạo bởi đường thẳng $\Delta$ cắt đường tròn trạm radar.
- Khoảng cách từ trạm radar $I$ đến quỹ đạo $\Delta$:
$$d(I,\Delta )=\frac{|3\cdot 2-5\cdot 1-11|}{\sqrt{3^2+(-5{)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{34}}\text{ (km)}.$$
- Độ dài quãng đường trong vùng radar:
$$L=2\sqrt{R^2-d^2(I,\Delta )}=2\sqrt{100-\frac{100}{34}}=20\sqrt{\frac{33}{34}}\approx 19,7036\text{ (km)}.$$
Bước 3: Tính thời gian. Với vận tốc $v=600$ km/h, thời gian vật thể bay được radar theo dõi là:
$$t=\frac{L}{v}=\frac{19,7036}{600}\text{ (giờ)}.$$
Đổi sang đơn vị phút:
$$T=t\times 60=\frac{19,7036}{10}=1,97036\text{ (phuˊt)}.$$
Vậy vật thể bay nằm trong vùng theo dõi của radar khoảng $1,97$ phút.