Một hộp sữa dung tích $1$ lít có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh bằng $x(cm)$ và chiều cao $h(cm)$. Tìm giá trị của $x$ để diện tích toàn phần của hình hộp là nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $V=x^{2}h=1000({\text{cm}}^3)$ (vì 1 lít $=1000{\text{cm}}^3$), suy ra $h=\frac{1000}{x^2}$ với $x>0$.

Diện tích toàn phần:
$$S=2x^2+4xh=2x^2+4x\cdot \frac{1000}{x^2}=2x^2+\frac{4000}{x},x>0.$$

Xét $S^{\prime }(x)=4x-\frac{4000}{x^2}$. Cho $S^{\prime }(x)=0\iff 4x^3=4000\iff x^3=1000\iff x=10$.

Với $0<x<10$ thì $S^{\prime }(x)<0$; với $x>10$ thì $S^{\prime }(x)>0$, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=10$ (khi đó $h=1000/100=10$).

Vậy $x=10\text{cm}$ để diện tích toàn phần của hộp sữa nhỏ nhất (khi đó hộp là hình lập phương cạnh 10 cm, $S_{\min }=600{\text{cm}}^2$).