Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (Hình a), đoạn dốc lên và đoạn dốc xuống là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là và . Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, và phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp và (Hình b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại và phương trình của parabol là , trong đó tính bằng mét, khoảng cách theo phương ngang giữa và là . Khoảng cách theo phương ngang từ điểm đến điểm cao nhất của đường ray tàu lượn bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)? 
Hình a — Hình b
Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (Hình a), đoạn dốc lên và đoạn dốc xuống là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là và . Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, và phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp và (Hình b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại và phương trình của parabol là , trong đó tính bằng mét, khoảng cách theo phương ngang giữa và là . Khoảng cách theo phương ngang từ điểm đến điểm cao nhất của đường ray tàu lượn bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)? Hình a — Hình b
Hình a — Hình bĐáp án chính thức: 28,6
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Gốc tọa độ tại P nên P(0;0), do đó c=0. Đạo hàm y'=2ax+b. Tại P, tiếp tuyến L1 có hệ số góc 0,6 nên y'(0)=b=0,6. Tại Q có hoành độ x=50, tiếp tuyến L2 có hệ số góc -0,8 nên y'(50)=100a+b=-0,8, suy ra 100a=-1,4, a=-0,014. Hoành độ đỉnh parabol: x_đỉnh = -b/(2a) = -0,6/(2·(-0,014)) = 0,6/0,028 ≈ 21,4286 m. Khoảng cách theo phương ngang từ Q đến đỉnh: 50 - 21,4286 ≈ 28,5714 ≈ 28,6 m. Kết quả khớp với đáp án nguồn 28,6.
Gốc tọa độ tại P nên P(0;0), do đó c=0. Đạo hàm y'=2ax+b. Tại P, tiếp tuyến L1 có hệ số góc 0,6 nên y'(0)=b=0,6. Tại Q có hoành độ x=50, tiếp tuyến L2 có hệ số góc -0,8 nên y'(50)=100a+b=-0,8, suy ra 100a=-1,4, a=-0,014. Hoành độ đỉnh parabol: x_đỉnh = -b/(2a) = -0,6/(2·(-0,014)) = 0,6/0,028 ≈ 21,4286 m. Khoảng cách theo phương ngang từ Q đến đỉnh: 50 - 21,4286 ≈ 28,5714 ≈ 28,6 m. Kết quả khớp với đáp án nguồn 28,6.