Một kỹ sư thiết kế một mô hình đường hầm như bên dưới. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài 5 (m). Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x$ (đơn vị là mét) ta được thiết diện là một hình parabol có chiều cao $h(x)=3-\frac{2}{5}x$, độ dài đáy gấp đôi chiều cao của parabol (như hình vẽ bên cạnh) và diện tích của thiết diện là $S(x)$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết diện parabol có chiều cao $h$, đáy dài $2h$ (gốc tại $\pm h$). Diện tích parabol $=\frac{2}{3}\cdot \text{đaˊy}\cdot \text{cao}=\frac{2}{3}(2h)h=\frac{4}{3}{h}^2$, nên $S(x)=\frac{4}{3}{\left(3-\frac{2x}{5}\right)}^2$.
a) $h(0)=3$ nên $OA=3$ m: đúng.
b) Thể tích bằng tích phân diện tích thiết diện theo chiều dài: $V={\int }_0^{5}S(x)dx$: đúng.
c) $\int h(x)dx=\int \left(3-\frac{2}{5}x\right)dx=3x-\frac{x^2}{5}+C$: đúng.
d) $V=\frac{4}{3}{\int }_0^5{\left(3-\frac{2x}{5}\right)}^{2}dx$. Đặt $u=3-\frac{2x}{5}$, $dx=-\frac{5}{2}du$: ${\int }_0^5{\left(3-\frac{2x}{5}\right)}^{2}dx=\frac{5}{2}{\int }_0^3{u}^{2}du=\frac{5}{2}\cdot 9=\frac{45}{2}$. Vậy $V=\frac{4}{3}\cdot \frac{45}{2}=30{\text{m}}^3\ne 29,89$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$h(0)=3-0=3$, nên $OA=3$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thể tích vật thể bằng tích phân của diện tích thiết diện vuông góc trục $Ox$ trên $[0;5]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int \left(3-\frac{2}{5}x\right)dx=3x-\frac{x^2}{5}+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S(x)=\frac{4}{3}{\left(3-\frac{2x}{5}\right)}^2$ (diện tích parabol đáy $2h$, cao $h$ là $\frac{4}{3}{h}^2$). $V=\frac{4}{3}\cdot \frac{45}{2}=30{\text{m}}^3$, không phải 29,89 m³.