Một máy chủ cần xử lý tuần tự $15$ tệp dữ liệu khác nhau, bao gồm: $3$ tệp văn bản, $5$ tệp âm thanh và $7$ tệp video. Việc xử lý liên tục các tệp dữ liệu cùng loại sẽ làm giảm hiệu suất của hệ thống. Do đó, hệ thống phải sắp xếp thứ tự xử lý sao cho không có bất kỳ hai tệp dữ liệu cùng loại nào (văn bản, âm thanh, video) được xếp liền kề nhau. Gọi $S$ là số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu trên. Hãy tính tổng các chữ số của $S$.

Xếp trước $7$ tệp video tạo ra $6$ khoảng trống ở giữa (mỗi khoảng trống phải có ít nhất $1$ tệp khác loại) và $2$ vị trí ở hai đầu. Vì tổng số tệp văn bản ($3$ tệp) và âm thanh ($5$ tệp) là $8$ tệp và trong cùng một khoảng trống không được có hai tệp cùng loại đứng cạnh nhau, nên các khối tệp xen vào các khoảng trống chỉ có thể là: khối $1$ tệp (V hoặc A), khối $2$ tệp xen kẽ (VA hoặc AV), hoặc khối $3$ tệp xen kẽ (AVA). Xét số cách phân bố các khối này vào $6$ khoảng trống giữa và $2$ đầu mút rồi nhân với $3!\cdot 5!\cdot 7!$ số cách hoán vị các tệp cùng loại, ta được $S=1260\cdot 3!\cdot 5!\cdot 7!=4572288000$.
Tổng các chữ số của $S$ là $4+5+7+2+2+8+8+0+0+0=36$.