Một nhóm học sinh trường THPT thực hiện đề tài trải nghiệm sáng tạo, thiết kế mô hình khung một chiếc lều cắm trại có dạng khối tứ diện ABCD (với tất cả các mặt

Question

Một nhóm học sinh trường THPT thực hiện đề tài trải nghiệm sáng tạo, thiết kế mô hình khung một chiếc lều cắm trại có dạng khối tứ diện $A B C D$ (với tất cả các mặt là tam giác nhọn để đảm bảo độ vững chắc và khả năng thoát nước tốt). Theo bản vẽ kỹ thuật của nhóm: Hai thanh giằng chính $B C$ và $A D$ được bố trí chéo nhau và vuông góc với nhau ( $B C ⊥ A D$ ), với khoảng cách ngắn nhất giữa hai thanh này được cố định là $d = 2, 5$ ; Góc mở của mái lều được xác định bởi góc phẳng nhị diện $[A, B C, D]$ , trong đó số đo của góc nhị diện $[A, B C, D]$ bằng $6 0^{0}$ . Gọi $h_{a}$ và $h_{d}$ lần lượt là chiều cao của các trụ chống dựng từ đỉnh $A$ và đỉnh $D$ xuống các mặt đối diện của khung lều. Để tối ưu hóa kết cấu chịu lực và vật liệu, nhóm học sinh cần khảo sát biểu thức $T = \frac{h _{a} + h _{d}}{h _{a} . h _{d}}$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $T$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Đáp án đúng: 0,8. Lời giải chi tiết: (AI giải đề cho tôi) Đặt I là giao điểm của BC với mặt phẳng ( ) vuông góc với BC đi qua A. Vì AD BC nên D ( ), do đó góc nhị diện [A,BC,D] chính là AID=60 trong mặt phẳng ( ) (gọi x=IA,\ y=ID). Thể tích khối tứ diện: V= 1 6 BC x y 60 . Diện tích: S ABC = 1 2 BC x, S BCD = 1 2 BC y (vì A,D thuộc mặt phẳng vuông góc với BC). Mặt khác 1 3 S BCD h a= 1 3 S ABC h d=V nên T= 1 h a + 1 h d = S BCD +S ABC 3V = x+y xy 60 = 2(x+y) 3\,xy . Ràng buộc khoảng cách từ I đến đường thẳng AD bằng d= 5 2 : xy 60 AD = 5 2 với AD 2=x 2+y 2-xy=(x+y) 2-3xy. Đặt s=x+y,\ p=xy: 3 2 p= 5 2 s 2-3p 3p 2=25(s 2-3p) s 2= 3p(p+25) 25 . Điều kiện có tam giác: s 2 4p 3(p+25) 100 p 25 3 . Khi đó ( s p ) 2= 3(p+25) 25p = 3 25 (1+ 25 p ) giảm biến theo p, nên max tại p= 25 3 (khi x=y= 5 3 , kiểm tra khoảng cách =x 60 = 52 đúng): s p = 2 3 5 . Vậy T = 2 3 2 3 5 = 4 5 =0 , 8.

Kì Thi Chọn Học Sinh Giỏi Tỉnh Lớp 12 2026-2027 - Nghệ An - Toán Bảng A (Phần trắc nghiệm)

Các câu hỏi khác trong đề (18 câu)