Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x$ là $x_0=\frac{m}{n}\pi$ (với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Tính giá trị của biểu thức $m+2n$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=x+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi$. Nghiệm dương nhỏ nhất của họ này là $x=\frac{5\pi }{3}$.

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\pi -x+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$. Với $k=0$ ta được $x=\frac{2\pi }{9}\approx 0,222\pi$, nhỏ hơn $\frac{5\pi }{3}$.

Kiểm tra: $\sin \left(2\cdot \frac{2\pi }{9}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{7\pi }{9}=\sin \frac{2\pi }{9}$ ✓.

Vậy $x_0=\frac{2}{9}\pi$, tức $m=2$, $n=9$ (phân số tối giản), nên $m+2n=2+18=20$.