Nhà sản xuất sử dụng hết $24\sqrt{3}$ ($d{m}^2$) một loại vật liệu để làm một chiếc lồng đèn có dạng hình lăng trụ tam giác đều. Các mối ghép có kích thước không đáng kể. Tính thể tích lớn nhất của chiếc lồng đèn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ là cạnh đáy (tam giác đều), $h$ là chiều cao lăng trụ. Diện tích vật liệu (toàn phần): $S=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2+3ah=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2+3ah=24\sqrt{3}$, suy ra $h=\frac{24\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2}{3a}=\frac{8\sqrt{3}}{a}-\frac{\sqrt{3}a}{6}$ với $0<a<\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.

Thể tích: $V=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}h=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2\left(\frac{8\sqrt{3}}{a}-\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)=6a-\frac{a^3}{8}$.

Xét $V^{\prime }(a)=6-\frac{3a^2}{8}=0\Rightarrow a^2=16\Rightarrow a=4$ (thỏa miền xác định).

Vì $V^{\prime }(a)>0$ khi $a<4$ và $V^{\prime }(a)<0$ khi $a>4$, hàm số đạt cực đại (cũng là giá trị lớn nhất) tại $a=4$. Khi đó $h=\frac{8\sqrt{3}}{4}-\frac{4\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Thể tích lớn nhất: $V_{\max }=6\cdot 4-\frac{64}{8}=24-8=16(d{m}^3)$.

Kiểm tra: $S=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 16+3\cdot 4\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}+16\sqrt{3}=24\sqrt{3}$ đúng. Vậy thể tích lớn nhất của chiếc lồng đèn là $16d{m}^3$.