Nhân dịp đi dã ngoại, lớp 12A dự kiến dựng một cái trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang $3$ mét, chiều dài $5$ mét, đỉnh trại cách nền $3$ mét. Thể tích phần không gian bên trong lều trại bằng bao nhiêu mét khối?

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, hình dạng khung trại là parabol có phương trình $y=f(x)=a{x}^2+bx+c$, vì đỉnh trại cao $3\text{ m}$ và bề ngang rộng $3\text{ m}$ nên parabol đi qua điểm $(0;3)$ và $\left(\frac{3}{2};0\right)$, suy ra $y=f(x)=-\frac{4}{3}{x}^2+3$. Mỗi mặt phẳng vuông góc $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\in \left[-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right]$ cắt khối lều theo thiết diện là hình chữ nhật có diện tích $S(x)=5\cdot f(x)$. Vậy thể tích phần không gian trong trại là $V={\int }_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}}5\cdot \left(-\frac{4}{3}{x}^2+3\right)dx=30{\text{ m}}^3$.