Tính tích phân $I={\int }_0^2(2x+1)dx$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),y=0,x=-1,x=2$ (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ $(a<b)$. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành là

Tính thể tích chứa được (dung tích) của một cái chén (bát), biết phần trong của nó có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi đường $y=\sqrt{2x}+2$ và trục $Ox$ (như hình vẽ), bát có độ sâu $5\text{ cm}$, đơn vị trên trục là centimet (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+z-4=0$ đi qua điểm nào sau đây

Trong không gian $Oxyz$, vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha ):2x-3y+1=0$?

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(3;-1;4)$ đồng thời vuông góc với giá của vectơ $\vec{a}=(1;-1;2)$ có phương trình là

Cho hàm số $f(x)=x^2+2x$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi $v(t)=5+3t(\text{m/s})$, với $t$ là thời gian kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau $35$ giây thì máy bay cất cánh trên đường băng. Gọi $s(t)$ là quãng đường máy bay di chuyển được sau $t$ giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-3)$, $B(-2;0;-1)$, $M(2;-1;4)$ và mặt phẳng $(P):3x-2y+z+1=0$. Khi đó mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;6;-7)$, $B(3;2;1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x+y-3z-14=0$.

Một ô tô đang chạy với vận tốc $10\text{ m/s}$ thì gặp chướng ngại vật, người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-2t+10(\text{m/s})$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong $8$ giây cuối cùng.

Cho $A={\int }_0^1(x^2-x+2024m)dx=5$. Tính $B={\int }_1^2(x^2-3x+3+2024m)dx$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(0)=2\sqrt{2},f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(x)\cdot f^{\prime }(x)=(2x+1)\sqrt{1+f^2(x)},\forall x\in \mathbb{R}$. Tính giá trị $f(1)$. Kết quả làm tròn đến một chữ số đằng sau dấu phẩy.

Nhân dịp đi dã ngoại, lớp 12A dự kiến dựng một cái trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang $3$ mét, chiều dài $5$ mét, đỉnh trại cách nền $3$ mét. Thể tích phần không gian bên trong lều trại bằng bao nhiêu mét khối?

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(2;3;-1)$ đồng thời song song với giá của hai vec tơ $\vec{u}=(1;1;0)$ và $\vec{v}=(1;2;-3)$ có dạng $ax+by+cz+2=0$. Tính $a-b+c$.

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA=100\text{ m}$, chiều rộng $OD=60\text{ m}$ và tọa độ điểm $B(10;10;8)$. Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng $(OACB)$ có dạng $ax+4y+cz+d=0$. Tính giá trị biểu thức $a+c+d$.