Số giờ có ánh sáng của thành phố $P$ ở vĩ độ $40^{\circ }$ bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi hàm số $d(t)=3\cdot \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$ với $t\in \mathbb{Z}$ và $0<t\le 365$. Bạn Hạ muốn đi tham quan thành phố $P$ nhưng lại không thích ánh sáng mặt trời. Gọi $t$ là thời điểm ngày trong năm mà thành phố $P$ có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=a^2+2a+t$ $(\forall a\in \mathbb{R})$?