Tam giác $ABC$ có $\cos (A+B)=-\frac{1}{8}$, $AC=4$, $BC=5$. Tính cạnh $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=180^{\circ }$ nên $\cos (A+B)=\cos (180^{\circ }-C)=-\cos C=-\frac{1}{8}$, suy ra $\cos C=\frac{1}{8}$. Áp dụng định lí cosin tại đỉnh $C$ với $AC=4$, $BC=5$, $AB=c$: $$\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{16+25-c^2}{40}=\frac{1}{8}$$ Suy ra $41-c^2=5\Rightarrow c^2=36\Rightarrow c=6$ (độ dài dương). Vậy $AB=6$.