Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng $a$. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc $60^{\circ }$. Diện tích của thiết diện này bằng

Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân cạnh $a$, nên đường sinh $l=a$, đường kính đáy $2R=a\sqrt{2}⟹R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, và chiều cao $h=R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Gọi thiết diện qua đỉnh là tam giác cân $SAB$, $M$ là trung điểm $AB$. Góc giữa $(SAB)$ và đáy là $\widehat{SMO}=60^{\circ }$. Trong tam giác vuông $SOM$: $SM=\frac{SO}{\sin 60^{\circ }}=\frac{a\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$, $OM=\frac{SO}{\tan 60^{\circ }}=\frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$. Do $M$ là trung điểm $AB$ nên $AM=\sqrt{R^2-O{M}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{6}}=\frac{a}{\sqrt{3}}⟹AB=\frac{2a}{\sqrt{3}}$. Diện tích thiết diện là $S=\frac{1}{2}AB\cdot SM=\frac{1}{2}\cdot \frac{2a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a^2\sqrt{2}}{3}$. Chọn D.