Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2-4(m+1)x$ đạt cực đại tại $x=1$.

Ta có: $y^{\prime }=x^2+2mx-4(m+1)$; $y^{\prime \prime }=2x+2m$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ điều kiện cần là $y^{\prime }(1)=0$:
$1^2+2m(1)-4(m+1)=0\iff 1+2m-4m-4=0\iff -2m-3=0\iff m=-\frac{3}{2}$.
Thử lại với $m=-\frac{3}{2}$:
$y^{\prime \prime }(1)=2(1)+2\left(-\frac{3}{2}\right)=2-3=-1<0$.
Do đó hàm số đạt cực đại tại $x=1$. Vậy $m=-\frac{3}{2}$.