Tìm $m$ để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+(m^2+2)x-m+1$ đạt cực đại tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3m{x}^2+(m^2+2)x-m+1$, có $y^{\prime }=3x^2-6mx+(m^2+2)$.

Để hàm số đạt cực trị tại $x=1$ thì $y^{\prime }(1)=0$:
$$3-6m+m^2+2=0\iff m^2-6m+5=0\iff m=1\text{ hoặc }m=5.$$

Xét $y^{\prime \prime }=6x-6m$, nên $y^{\prime \prime }(1)=6-6m$.
- Với $m=1$: $y^{\prime \prime }(1)=0$, cần kiểm tra dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }=3x^2-6x+3=3(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, hàm số đồng nhất tăng, không có cực trị tại $x=1$ (loại).
- Với $m=5$: $y^{\prime \prime }(1)=6-30=-6<0$, nên $x=1$ là điểm cực đại (thỏa mãn).

Vậy $m=5$.