Tìm $m$ để phương trình $x^6+6x^4-m^3{x}^3+(15-3m^2)x^2-6mx+10=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[\frac{1}{2};2\right]$.

Phương trình biến đổi về:
$(x^6+6x^4+12x^2+8)-(m^3{x}^3+3m^2{x}^2+3mx+1)+(3x^2-3mx+3)=0$
$\iff (x^2+2{)}^3+3(x^2+2)=(mx+1{)}^3+3(mx+1)$.
Xét hàm số đặc trưng $f(t)=t^3+3t$ có $f^{\prime }(t)=3t^2+3>0,\forall t$, do đó hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra: $x^2+2=mx+1\iff x^2-mx+1=0\iff m=x+\frac{1}{x}$.
Xét $g(x)=x+\frac{1}{x}$ trên $\left[\frac{1}{2};2\right]$.
$g^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=0\iff x=1\in \left[\frac{1}{2};2\right]$.
Ta có $g(1)=2$, $g\left(\frac{1}{2}\right)=g(2)=\frac{5}{2}$.
Để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[\frac{1}{2};2\right]$ thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị $y=g(x)$ tại 2 điểm phân biệt, tức là $2<m\le \frac{5}{2}$.
Chọn A.