Tìm số nghiệm thuộc khoảng $(-50\pi ;50\pi )$ của phương trình $\cos 5x+\cos x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 5x+\cos x=2\cos 3x\cos 2x=0$.

Trường hợp 1: $\cos 3x=0\Rightarrow 3x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$. Nghiệm cách đều nhau $\frac{\pi }{3}$, trong khoảng độ dài $100\pi$ nên số nghiệm là $\frac{100\pi }{\pi /3}=300$ (kiểm tra: $-50\pi <\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}<50\pi \Rightarrow -150,5<k<149,5$, tức $k\in \{-150,\dots ,149\}$, đúng 300 giá trị).

Trường hợp 2: $\cos 2x=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$. Nghiệm cách đều $\frac{\pi }{2}$, số nghiệm là $\frac{100\pi }{\pi /2}=200$ (kiểm tra: $-100,5<k<99,5$, tức $k\in \{-100,\dots ,99\}$, đúng 200 giá trị).

Hai họ nghiệm không trùng nhau (nếu trùng thì $\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+\frac{m\pi }{2}$ suy ra $4k-6m=1$, vô nghiệm nguyên). Vậy tổng số nghiệm là $300+200=500$, trùng với đáp án của đề.