Tìm thể tích phần giao nhau của khối nón $(N)$ và khối trụ $(T)$ biết rằng chúng có cùng chiều cao 4 dm, hai đường tròn đáy đồng phẳng và có bán kính cùng bằng 2 dm, đồng thời trục của hình nón là một đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm. [Hình cần kiểm tra lại: p6_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: khối trụ (T): $x^2+y^2\le 4$, $0\le z\le 4$ (bán kính 2 dm, chiều cao 4 dm). Vì trục của nón là một đường sinh của trụ nên đỉnh nón là $S(2,0,4)$, tâm đáy nón là $(2,0,0)$, đáy nón nằm trong mặt phẳng $z=0$ (đồng phẳng với đáy trụ), bán kính đáy nón bằng 2 dm.

Thiết diện phẳng $z=\text{const}$ của phần giao là giao của hai hình tròn: tròn tâm $O(0,0)$ bán kính $R=2$ (thuộc trụ) và tròn tâm $(2,0)$ bán kính $r=2\left(1-\frac{z}{4}\right)=2-\frac{z}{2}$ (thuộc nón), khoảng cách hai tâm $d=2$.

Diện tích giao (lens) của hai đường tròn bán kính $R=2$, $r$, tâm cách nhau $d=2$:
$$A(r)=r^2\arccos \frac{r}{4}+4\arccos \left(1-\frac{r^2}{8}\right)-\frac{1}{2}r\sqrt{16-r^2}.$$

Kiểm tra: $A(2)=4\cdot \frac{\pi }{3}+4\cdot \frac{\pi }{3}-\sqrt{12}\approx 4,9135$; $A(1)\approx 1,4030$; $A(0,5)\approx 0,3705$; $A(1,5)\approx 2,9667$.

Thể tích:
$$V={\int }_0^{4}A(z)dz=2{\int }_0^{2}A(r)dr(r=2-\frac{z}{2},dz=-2dr).$$

Tính gần đúng bằng quy tắc Simpson với $h=0,5$ trên $[0,2]$:
$${\int }_0^{2}A(r)dr\approx \frac{0,5}{3}\left[A(0)+4A(0,5)+2A(1)+4A(1,5)+A(2)\right]\approx \frac{0,5}{3}(21,068)\approx 3,511.$$
$$V\approx 2\cdot 3,511\approx 7,02{\text{dm}}^3.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn 7,02.