Tính các giới hạn
a) ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1+3n}{4-2n}$.
b) ${\lim }_{x\to -\infty }\left(x+\sqrt{x^2-x+1}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 17.
a) Chia tử và mẫu cho $n$: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1+3n}{4-2n}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{\frac{1}{n}+3}{\frac{4}{n}-2}=\frac{0+3}{0-2}=-\frac{3}{2}$.

b) Với $x\to -\infty$, nhân liên hợp:
$$x+\sqrt{x^2-x+1}=\frac{(x+\sqrt{x^2-x+1})(x-\sqrt{x^2-x+1})}{x-\sqrt{x^2-x+1}}=\frac{x^2-(x^2-x+1)}{x-\sqrt{x^2-x+1}}=\frac{x-1}{x-\sqrt{x^2-x+1}}.$$
Khi $x<0$ thì $\sqrt{x^2-x+1}=|x|\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$, nên mẫu số $x-\sqrt{x^2-x+1}=x\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)$. Do đó
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+\sqrt{x^2-x+1}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$$