Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\cos \sqrt{2x+3}$;

b) $y={\sin }^{2}5x$;

c) $y={\tan }^2\frac{x}{3}$;

d) $y=\frac{1}{4}\cot x^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2 (trang 24). a) $y=\cos \sqrt{2x+3}$, xác định khi $2x+3>0\iff x>-\frac{3}{2}$. Đặt $u=\sqrt{2x+3}$, $u^{\prime }=\frac{2}{2\sqrt{2x+3}}=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}$. Do đó $y^{\prime }=-\sin \sqrt{2x+3}\cdot \frac{1}{\sqrt{2x+3}}=-\frac{\sin \sqrt{2x+3}}{\sqrt{2x+3}}$.

b) $y={\sin }^{2}5x$. $y^{\prime }=2\sin 5x\cdot (\sin 5x{)}^{\prime }=2\sin 5x\cdot 5\cos 5x=10\sin 5x\cos 5x=5\sin 10x$.

c) $y={\tan }^2\frac{x}{3}$, điều kiện $\cos \frac{x}{3}\ne 0$. $y^{\prime }=2\tan \frac{x}{3}\cdot \frac{1}{{\cos }^2\frac{x}{3}}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2\tan \frac{x}{3}}{3{\cos }^2\frac{x}{3}}$.

d) $y=\frac{1}{4}\cot x^2$, điều kiện $\sin x^2\ne 0$. Đặt $u=x^2$, $u^{\prime }=2x$, $(\cot u{)}^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}$. Vậy $y^{\prime }=\frac{1}{4}\cdot \left(-\frac{2x}{{\sin }^2{x}^2}\right)=-\frac{x}{2{\sin }^2{x}^2}$.

Kiểm tra lại: các kết quả đều đúng theo quy tắc đạo hàm hàm hợp và đạo hàm của các hàm lượng giác cơ bản.