Cho hàm số $f(x)=\frac{2}{3}{x}^3-\frac{1}{2}(m+3)x^2+2x+m$. Xác định tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình $f^{\prime }(x)>0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2x^2-(m+3)x+2$. Bất phương trình $f^{\prime }(x)>0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ tức là $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vì hệ số $a=2>0$ nên parabol hướng lên; điều kiện cần và đủ là $f^{\prime }(x)=0$ vô nghiệm, tức $\Delta <0$ với $\Delta =(m+3{)}^2-16$. Suy ra $(m+3{)}^2<16⟺-4<m+3<4⟺-7<m<1$. Vậy $m\in (-7;1)$. Kiểm tra: với $m=0$, $f^{\prime }(x)=2x^2-3x+2$ có $\Delta =9-16=-7<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x$ — thỏa mãn; với $m=8$, $f^{\prime }(x)=2x^2-11x+2$ có hai nghiệm phân biệt nên không thỏa mãn.