Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\left(x^2-2x+2\right)e^x$;

b) $y={\log }_2\left(2x+e^x\right)$;

c) $y=\frac{x+1}{2^x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3 (trang 24). a) $y=(x^2-2x+2)e^x$. Theo quy tắc tích: $y^{\prime }=(2x-2)e^x+(x^2-2x+2)e^x=(x^2-1)e^x$. Kiểm tra tại $x=0$: $y^{\prime }(0)=-1$, khớp với $(0^2-1)e^0=-1$.

b) $y={\log }_2(2x+e^x)$. Hàm số xác định khi $2x+e^x>0$; vì $e^x>0$ với mọi $x$ và $2x+e^x\to -\infty$ khi $x\to -\infty$, hàm xác định trên khoảng $(x_0,+\infty )$ với $x_0$ là nghiệm duy nhất của $2x+e^x=0$ (hàm $2x+e^x$ đồng biến). Trên tập xác định, với $u=2x+e^x$, $u^{\prime }=2+e^x$: $$y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u\ln 2}=\frac{2+e^x}{(2x+e^x)\ln 2}.$$

c) $y=\frac{x+1}{2^x}=(x+1)2^{-x}$. Vì $(2^{-x}{)}^{\prime }=-2^{-x}\ln 2$: $$y^{\prime }=2^{-x}+(x+1)(-2^{-x}\ln 2)=\frac{1-(x+1)\ln 2}{2^x}.$$ Kiểm tra tại $x=0$: $y^{\prime }(0)=1-\ln 2$, tính trực tiếp từ $y=(x+1)2^{-x}$ cũng cho $1-\ln 2$, nhất quán.