Trên một khu đất hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh 200 m đang diễn ra một cuộc thi. Mỗi đội thi sẽ điều khiển con robot mà ban tổ chức cung cấp, xuất phát từ chính giữa cạnh $AB$, đi theo một đường thẳng và đến đích là một điểm bất kỳ trên cạnh $CD$. Ở chính giữa khu đất là một bãi cát hình chữ nhật có chiều dài 120 m và chiều rộng 80 m. Vận tốc của robot khi đi trên mặt đất là 3 m/s còn khi đi trên cát là 2 m/s. Gọi $a$ là thời gian (tính theo giây) ngắn nhất mà robot đi đến đích. Khi đó giá trị $100a$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
[Hình cần kiểm tra lại: p16_f3]

(AI giải đề cho tôi)
Lập hệ trục: $A(0;0),B(200;0),C(200;200),D(0;200)$; robot xuất phát tại $M(100;0)$, đích $P(t;200)$ với $0\le t\le 200$. Bãi cát (dài 120 theo phương đứng, rộng 80 theo phương ngang, nằm chính giữa) chiếm miền $60\le x\le 140$, $40\le y\le 160$.

Đường đi thẳng có phương trình $x=100+\frac{t-100}{200}y$. Tại $y=60$, hoành độ nằm trong $[70;130]\subset [60;140]$, nên mọi đường thẳng đều cắt bãi cát. Đường thẳng vào cát tại $y=40$ (hoành độ tại đó thuộc $[92;120]\subset [60;140]$).

- Nếu $t\le 150$: đường thẳng ra cát qua cạnh trên $y=160$, thời gian $T=\frac{200}{3}+\frac{120}{6\cos \theta }\ge \frac{200}{3}+20\approx 86,67$ s, nhỏ nhất khi đi thẳng đứng.
- Nếu $t>150$: đường thẳng ra qua cạnh bên $x=140$ tại $y=\frac{8000}{t-100}$. Đặt $s=t-100\in (50;100]$, thời gian:
$$T(s)=\frac{\sqrt{(s/5{)}^2+1600}}{3}+\frac{\sqrt{(40-s/5{)}^2+{\left(\frac{8000}{s}-40\right)}^2}}{2}+\frac{\sqrt{(s-40{)}^2+{\left(200-\frac{8000}{s}\right)}^2}}{3}.$$

Khảo sát $T(s)$ trên $(50;100]$ bằng đạo hàm và thử nghiệm số: $T(95)\approx 81,963$; $T(96)\approx 81,9598$; $T(97)\approx 81,977$; $T(100)\approx 81,989$. Minimum đạt tại $s\approx 96$ (tức $t\approx 196$): điểm vào cát $(119,2;40)$, điểm ra $(140;83,33)$, ba đoạn dài lần lượt $\approx 44,369$; $48,067$; $129,410$ m, cho
$$a=T_{\min }\approx \frac{44,369}{3}+\frac{48,067}{2}+\frac{129,410}{3}\approx 81,96\text{ giaˆy}.$$

Vậy $100a\approx 8196$ (làm tròn đến hàng đơn vị), trùng với đáp án nguồn 8196.