Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(2;-3)$, $B(3;-4)$. Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục hoành sao cho chu vi tam giác $AMB$ nhỏ nhất.

Chu vi tam giác $AMB$ là $AB+MA+MB$. Vì $AB$ không đổi, chu vi nhỏ nhất khi $MA+MB$ nhỏ nhất.
Vì $A(2;-3)$ và $B(3;-4)$ nằm cùng phía đối với trục hoành $Ox$, lấy điểm đối xứng của $A$ qua $Ox$ là $A^{\prime }(2;3)$.
Khi đó với mọi $M\in Ox$: $MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B$.
Dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $A^{\prime }B$ với trục $Ox$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $A^{\prime }B$ là $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1;-7)$, phương trình đường thẳng $A^{\prime }B$: $7(x-2)+(y-3)=0\iff 7x+y-17=0$.
Cho $y=0\Rightarrow 7x-17=0\iff x=\frac{17}{7}$. Vậy $M\left(\frac{17}{7};0\right)$.