Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho phương trình chính tắc của $(E)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó $a,b>0$, elip đi qua điểm $M\left(3;\frac{16}{5}\right)$ và có một tiêu điểm là $F_2(3;0)$. Viết phương trình chính tắc của $(E)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tiêu điểm $F_2(3;0)$ nằm trên trục $Ox$ nên $c=3$, do đó $a^2-b^2=c^2=9$, tức $a^2=b^2+9$. Elip đi qua $M\left(3;\frac{16}{5}\right)$ nên $\frac{9}{a^2}+\frac{256}{25b^2}=1$. Thay $a^2=b^2+9$, đặt $t=b^2>0$: $\frac{9}{t+9}+\frac{256}{25t}=1$. Nhân hai vế với $25t(t+9)$: $225t+256(t+9)=25t(t+9)$, tức $25t^2-256t-2304=0$. Biệt thức $\Delta =256^2+4\cdot 25\cdot 2304=295936=544^2$, nên $t=\frac{256+544}{50}=16$ (nhận nghiệm dương). Vậy $b^2=16$, $a^2=25$. Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. Kiểm tra: $M(3;16/5)$: $\frac{9}{25}+\frac{256/25}{16}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ đúng; $c^2=25-16=9$ đúng.