Trong hội trại Trăng rằm của trường TH-THCS-THPT Lê Thành Tông, bạn Danh lớp 10E đã thiết kế một logo cho tấm poster lớn tại gian trại của lớp. Logo là hình ngôi sao 5 cánh nội tiếp trong một đường tròn có tâm $A$. Biết rằng ngôi sao được tạo từ các tam giác bằng nhau, một trong các tam giác đó là tam giác $ABC$ có cạnh $AB=20cm$ và $BC=30cm$ (xem hình bên). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Ngôi sao gồm 5 tam giác bằng nhau chung đỉnh A (tâm đường tròn), nên góc ở tâm mỗi tam giác là 360°/5 = 72°.
a) Sai: góc BAC = 72°, không phải 36°.
b) Sai: định lí cosin cho BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(BAC) (dấu trừ, không phải dấu cộng).
c) Sai: với AB = 20, BC = 30, góc A = 72°: 900 = 400 + AC² − 40·AC·cos72°, tức AC² − 12,3607·AC − 500 = 0, giải được AC ≈ 29,4 cm (không phải 43,8 cm).
d) Sai: bán kính đường tròn R = AC ≈ 29,38 cm nên diện tích đường tròn ≈ π·29,38² ≈ 2711,7 cm². Diện tích ngôi sao = 5·(1/2·AB·AC·sin72°) ≈ 5·279,4 ≈ 1397,0 cm². Diện tích phần tô đậm ≈ 2711,7 − 1397,0 ≈ 1314,7 cm², không phải 3448,5 cm².
a) (AI giải đề cho tôi)
Năm tam giác bằng nhau chia quanh tâm A nên góc BAC = 360°/5 = 72° ≠ 36°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(BAC); mệnh đề dùng dấu cộng nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải 900 = 400 + AC² − 40·AC·cos72° được AC² − 12,3607AC − 500 = 0 ⇒ AC ≈ 29,4 cm, không phải 43,8 cm.
d) (AI giải đề cho tôi)
R = AC ≈ 29,38 cm ⇒ S_đường tròn ≈ 2711,7 cm²; S_sao = 5·(1/2·20·29,38·sin72°) ≈ 1397,0 cm²; phần tô đậm ≈ 1314,7 cm² ≠ 3448,5 cm².