Trong không gian cho hệ trục Oxyz; lấy các điểm A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) ,

(
D a + a b2 + c 2 ; b a 2 + c 2 ; c b2 + a 2 ) với a, b, c dương. Biết diện tích tam giác ABC bằng
3
(dvdt) và thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. Khi đó phương trình mặt phẳng ( ABD )
2
là mx + ny + pz + 1 = 0 . Tính m + n + p

x y z
Phương trình mặt phẳng ( ABC ) : + + - 1 = 0.
a b c
( ab ) + ( bc ) + ( ca )
2 2 2
3
Diện tích tam giác ABC bằng S = = $\Rightarrow$ ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) = 9.
2 2 2

2 2
1 h
Thể tích khối tứ diện là V = S ABC .h = .
3 2

Với h = d ( D, ( ABC ) ) =
b2 + c2 + c2 + a 2 + a 2 + b2
= abc
( b +c + c +a + a +b )
2 2 2 2 2 2

1 1 1 3
+ +
a 2 b2 c2
V lớn nhất khi h lớn nhất

Ta có abc b + c = b c ( a b + a c )
2 2 2 2 2 2 2 2
\le 2 bc
( a b + a c ) \le 2 b c + ( a b + a c ) ]
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2

2 2 2 ]

2 2 2 (a b + b c ) 2 2 2 (a c + b c )
2 2 2 2 2 2 2 2

Tuong tự: abc c + a \le
2
a c +
2
] , abc b + a \le
2 2
a b + ]
2 2 ] 2 2 ]


h \le
2 2
2.3
( )
( ab ) + ( bc ) + ( ca ) = 3 2.
2 2 2

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 4 3.
( )
Ta có D 4 3 + 6; 6; 6 $\Rightarrow$ AD = 6 (1;1;1) , AB = 4 3 ( -1;1;0 ) , AB, AD = k (1;1; -2 )

1
m = - 4
3
x y 2z 1
Phương trình mặt phẳng ( ABD ) : x + y - 2 z - 4 3 = 0 $\Rightarrow$ - 4 - 4 + 4 + 1 = 0 $\Rightarrow$ n = - 4
3 3 3 3
2
p = 4
3
Do đó m + n + p = 0 .
 HẾT 