Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(2;2;2)$, $B(2;4;-6)$, $C(0;2;-8)$. Xét các điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P):x+y+z=0$ sao cho $\widehat{AMB}=90^{\circ }$. Độ dài lớn nhất của đoạn thẳng $CM$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Điểm $M$ thuộc mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I(2;3;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{17}$. Hình chiếu của $I$ lên $(P)$ là $H(1;2;-3)$ với $IH=\sqrt{3}$, nên $M$ thuộc đường tròn tâm $H$ bán kính $r=\sqrt{14}$ trong $(P)$. Hình chiếu của $C(0;2;-8)$ lên $(P)$ là $K(2;4;-6)$ với $CK=2\sqrt{3}$ và $HK=\sqrt{14}$. Do đó $C{M}_{\max }=\sqrt{C{K}^2+(HK+r{)}^2}=\sqrt{12+(2\sqrt{14}{)}^2}=\sqrt{68}\approx 8,25$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 0101).