Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;-1;3)$ và hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1-t\\ z=1+t\end{array}$ và $d_2:\frac{x-3}{3}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{-1}$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$, cắt đường thẳng $d_1$ và vuông góc với đường thẳng $d_2$.

(AI giải đề cho tôi)
d1 có VTCP u1=(1;-1;1), d2 có VTCP u2=(3;3;-1).
a) cos(u1,u2)=|1·3+(-1)·3+1·(-1)|/(√3·√19)=1/√57≈0,1325 ⇒ góc ≈82,4°>50°. Đúng.
b) Mặt phẳng qua A(1;-1;3) vuông góc d1 có VTPT u1=(1;-1;1): (x-1)-(y+1)+(z-3)=0 ⇔ x-y+z-5=0. Đúng.
c) M(7;-6;-6): trên d1 cần 2+t=7⇒t=5, khi đó z=1+5=6≠-6 nên M không thuộc d1, do đó d không cắt d1 tại M. Sai.
d) VTCP (6;-5;3) có tích vô hướng với u2: 18-15-3=0 nên vuông góc d2. Điểm trên d: (1+6t;-1-5t;3+3t), cho bằng điểm trên d1 (2+s;-1-s;1+s): từ y: s=5t; từ x: 1+6t=2+5t⇒t=1, s=5, kiểm tra z: 3+3=6=1+5 ✓. Vậy d qua A, cắt d1 tại (7;-6;6) và vuông góc d2. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos góc giữa u1=(1;-1;1) và u2=(3;3;-1) là 1/√57 ⇒ góc ≈82,4°>50°.
b) (AI giải đề cho tôi)
VTPT (1;-1;1), qua A(1;-1;3): x-y+z-5=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với t=5 trên d1 ta được điểm (7;-6;6), không phải (7;-6;-6); M không thuộc d1.
d) (AI giải đề cho tôi)
VTCP (6;-5;3) vuông góc u2=(3;3;-1) và d cắt d1 tại (7;-6;6) khi t=1.