Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $H(1;2;-2)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $H$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ tại $A,B,C$ sao cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Viết phương trình mặt cầu tâm $O$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha )$.

Do $A,B,C$ lần lượt nằm trên các trục $Ox,Oy,Oz$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $OH\perp (ABC)$, tức là $OH\perp (\alpha )$. Vì mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $H$ nên khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(\alpha )$ chính bằng đoạn thẳng $OH=\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{9}=3$. Mặt cầu tâm $O$ tiếp xúc với $(\alpha )$ có bán kính $R=OH=3$, phương trình là $x^2+y^2+z^2=9$. Vậy chọn B.