Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;-1)$ và $B(3;0;5)$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P):x-2y+2z-10=0$ sao cho tam giác $MAB$ cân tại $M$ và có diện tích bằng $11\sqrt{2}$. Tính $S=a+b+c$.

Ta có trung điểm của $AB$ là $I(2;1;2)$ và $\overrightarrow{AB}=(2;-2;6)=2(1;-1;3)⟹AB=\sqrt{4+4+36}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$.
Vì $△MAB$ cân tại $M$ nên $MI\perp AB$. Diện tích $S_{△MAB}=\frac{1}{2}AB\cdot MI=11\sqrt{2}⟹MI=\frac{22\sqrt{2}}{2\sqrt{11}}=\sqrt{22}$.
Mặt khác $M\in (P)$ và $MA=MB⟹M$ thuộc mặt phẳng trung trực $(\alpha )$ của đoạn thẳng $AB$:
$(\alpha )$ đi qua $I(2;1;2)$ và nhận $\vec{u}=(1;-1;3)$ làm VTPT: $1(x-2)-1(y-1)+3(z-2)=0⟺x-y+3z-7=0$.
Điểm $M$ thuộc giao tuyến $\Delta$ của $(P)$ và $(\alpha )$:
$\{\begin{array}{l}x-2y+2z-10=0\\ x-y+3z-7=0\end{array}$.
Giải hệ tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn khoảng cách $MI=\sqrt{22}$, ta thu được $M(a;b;c)$ với tổng $S=a+b+c=-\frac{1}{3}$. Chọn D.