Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $D(0;4;0)$, $D^{\prime }(0;4;5)$. (Tham khảo hình vẽ bên).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\overrightarrow{AB}=B-A=(3;0;0)$. b) Đúng: $A^{\prime }$ có cùng tọa độ với $A$ theo $Ox,Oy$ và cao bằng $D{D}^{\prime }=5$ nên $A^{\prime }(0;0;5)$. c) Sai: $M$ trung điểm $D{D}^{\prime }$ với $D(0;4;0)$, $D^{\prime }(0;4;5)$ nên $M(0;4;\frac{5}{2})$, không phải $(0;4;5)$. d) Đúng: $C^{\prime }(3;4;5)$. Lấy $A^{\prime \prime }$ đối xứng $A^{\prime }(0;0;5)$ qua mặt $(Oxy)$ thì $A^{\prime \prime }(0;0;-5)$. Khi đó $\min (A^{\prime }N+N{C}^{\prime })=A^{\prime \prime }{C}^{\prime }=\sqrt{(3-0{)}^2+(4-0{)}^2+(5+5{)}^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$. Khớp với đáp án nguồn (D, D, S, D).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(3-0;0-0;0-0)=(3;0;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật, $A{A}^{\prime }=D{D}^{\prime }=5$ và $A^{\prime }$ nằm trên trục $Oz$ nên $A^{\prime }(0;0;5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M$ trung điểm $D{D}^{\prime }$: $M\left(\frac{0+0}{2};\frac{4+4}{2};\frac{0+5}{2}\right)=(0;4;2,5)\ne (0;4;5)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C^{\prime }(3;4;5)$. Lấy $A^{\prime \prime }(0;0;-5)$ đối xứng $A^{\prime }$ qua $(Oxy)$, khi đó $A^{\prime }N+N{C}^{\prime }=A^{\prime \prime }N+N{C}^{\prime }\ge A^{\prime \prime }{C}^{\prime }=\sqrt{9+16+100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$, dấu bằng khi $N$ là giao của $A^{\prime \prime }{C}^{\prime }$ với $(Oxy)$.